在学习连续系统的时域分析时，我会把它想象成一个探索“魔法盒子”的过程，这个盒子就是我们的连续系统。
输入 (Input)：我们往盒子里放的东西，在信号里叫激励信号 `x(t)`。
输出 (Output): 盒子处理后吐出来的东西，叫响应信号 `y(t)`。
时域分析 (Time-Domain Analysis)：我们不打开盒子看内部结构，而是通过观察在不同时间点，我们放进去什么，以及得到了什么，来推断这个盒子的特性和工作规律。
知识点一：描述系统的语言——线性常系数微分方程
现实世界中大量的物理系统（比如电路、机械减震系统）都可以用微分方程来描述。这是我们在时域分析中最根本的数学模型。核心思想：微分方程描述了输出信号 `y(t)` 及其各阶导数与输入信号 `x(t)` 及其各阶导数之间的关系。通用形式： `a_n * y^(n)(t) + ... + a_1 * y'(t) + a_0 * y(t) = b_m * x^(m)(t) + ... + b_1 * x'(t) + b_0 * x(t)`
通俗理解：这个方程就是这个“魔法盒子”的说明书。 左边是关于输出的，右边是关于输入的。 `a` 和 `b` 都是常数，意味着这个盒子的特性是固定不变的（时不变系统）。方程是线性的，意味着盒子满足叠加原理（线性系统）。
求解微分方程得到的全响应 `y(t)` 分为两部分：
1. 齐次解 (Homogeneous Solution) `y_h(t)`：也叫零输入响应。
含义：在不给任何输入(`x(t) = 0`) 的情况下，仅由系统内部的初始状态（比如电容里存的电荷）所产生的响应。
比喻：你轻轻地推一下秋千（给了个初始状态），然后松手，秋千会自己晃动一段时间。这个自己晃动的模式就是齐次解，它只取决于秋千本身的特性（绳长、重量）。
2. 特解 (Particular Solution) `y_p(t)`：也叫零状态响应。
含义：在系统内部初始状态为零的情况下，完全由外部输入信号 `x(t)`驱动所产生的响应。
比喻：你持续地、有规律地推一个静止的秋千。秋千的摆动模式会最终跟随你推的节奏。这个被你“逼”出来的运动模式就是特解。
全解 = 齐次解 + 特解。一个系统的总响应，既有它“天生”的特性，也有被外部“强迫”的特性。
知识点二：两个最最基本的“工具”信号
为了方便地分析系统，我们需要两个像“尺子”和“榔头”一样的标准工具。
1. 单位阶跃信号 (Unit Step Signal) `u(t)`
样子：在 `t=0` 之前，值是0；在 `t=0` 及之后，值是1。
物理意义：就像一个开关，在 `t=0` 时刻“啪”地一下合上，并一直保持。
作用：用来描述一个信号是从何时开始的，或者给系统一个“持续稳定”的输入，看它如何反应（这被称为阶跃响应）。
2. 单位冲激信号 (Unit Impulse Signal) `δ(t)`
样子：一个非常理想化的信号。它只在 `t=0` 的一瞬间有值，这个值无穷大，但它和时间轴围成的面积恰好为1。在其他任何时间点，它的值都是0。
物理意义：可以想象成一次强度为1的、瞬时的敲击。比如用小锤子在 `t=0` 时刻极快地敲一下桌面。
最重要的两个特性：
取样特性：`f(t) * δ(t-t₀) = f(t₀) * δ(t-t₀)`。冲激信号就像一个“采样器”，当它和一个普通信号 `f(t)` 相乘时，能把 `f(t)` 在 `t₀` 时刻的值 `f(t₀)` 给“筛”出来。
积分特性：`∫f(t)δ(t-t₀)dt = f(t₀)`。在整个时间轴上积分，就直接得到了 `f(t₀)` 这个数值。
知识点三：系统的“身份证”——冲激响应 h(t)
这是时域分析中最最核心的概念。
定义：当一个系统处于零状态（内部没有初始能量）时，给它一个单位冲激信号 `δ(t)`作为输入，系统所产生的输出，就叫做单位冲激响应 (Impulse Response)，记为 `h(t)`。
为什么重要？
`h(t)` 是一个系统的唯一身份标识。就像人的指纹一样，不同的系统有不同的 `h(t)`。 `h(t)` 完全描述了系统的时域特性。知道了 `h(t)`，你就知道了这个系统的一切。
比喻：你想知道一口钟的音色如何。最好的办法就是用标准的小锤子（`δ(t)`）敲它一下，然后记录下它发出的声音随时间衰减的整个过程。这个记录下来的声音就是这口钟的冲激响应 `h(t)`。通过分析这个声音，你就能知道钟的材质、大小、形状等所有信息。
知识点四：核心运算——卷积 (Convolution)
现在我们有了系统的“身份证” `h(t)`，那么问题来了：如果输入不是标准的“小锤子” `δ(t)`，而是任意一个复杂的信号 `x(t)`，输出 `y(t)` 会是什么样呢？
卷积就是解决这个问题的终极工具。
卷积的本质思想——分解与叠加：
1. 分解输入：根据冲激信号的取样特性，我们可以把任何一个复杂的输入信号 `x(t)`，看作是无数个强度不同、在不同时间点发生的冲激信号的集合。 `x(t)` 在 `τ` 时刻的值是 `x(τ)`，我们可以把它看成一个强度为 `x(τ)` 的冲激 `x(τ)δ(t-τ)`。
2. 利用线性时不变性：我们已经知道了系统对一个标准冲激 `δ(t)` 的响应是 `h(t)`。 因为系统是时不变的，所以对一个在 `τ` 时刻发生的冲激 `δ(t-τ)`，响应就是 `h(t-τ)`。 因为系统是线性的，所以对一个强度为 `x(τ)` 的冲激 `x(τ)δ(t-τ)`，响应就是 `x(τ)h(t-τ)`。
3. 叠加输出：把所有这些微小的冲激所产生的响应全部加起来（积分），就得到了系统对复杂信号 `x(t)` 的总响应 `y(t)`。
卷积公式： `y(t) = x(t) * h(t) = ∫ x(τ)h(t-τ) dτ` （积分区间是负无穷到正无穷）， *是卷积运算符。通俗解释：输出 `y(t)` 等于输入 `x(t)` 和系统的冲激响应 `h(t)` 的卷积。
结论：只要你知道了系统的冲激响应 `h(t)`，你就可以通过卷积，计算出它对任何输入信号 `x(t)` 的响应 `y(t)`！
知识点五：系统的基本性质判断
通过分析系统的“身份证” `h(t)`，我们可以判断系统的几个重要属性：
1. 因果性 (Causality）
含义：输出不会比输入提前出现。也就是说，`t` 时刻的输出只取决于 `t` 时刻及之前的输入。
判断：对于 `t < 0`，必须有 `h(t) = 0`。
比喻：你不可能在敲钟之前就听到钟声。所以钟声 `h(t)` 必须在 `t=0` 之后才开始。
2. 稳定性 (Stability - BIBO)
含义：有界输入，有界输出 (Bounded-Input, Bounded-Output)。只要你输入的信号幅值是有限的，那么输出信号的幅值也必须是有限的，不会增长到无穷大。
判断：系统的冲激响应 `h(t)` 必须是绝对可积的，即 `∫|h(t)|dt < ∞`。
比喻：一个设计稳定的桥梁，只要上去的车不是无限重（有界输入），桥梁的振动就不会无限大到塌掉（有界输出）。