Yummy

引言：数字滤波器的本质——加权平均的艺术

在数字世界里，滤波的本质是一种加权平均。无论是FIR还是IIR，它们的工作都可以被看作是对当前及过去的信号样本进行一次精心设计的加权求和，以达到“保留所需，去除所恶”的目的。

输入序列 `x[n]：原始信号，包含我们想要的成分和不想要的噪声。

输出序列 `y[n]`：滤波后的纯净信号。

滤波器：一个根据预设规则，计算如何对输入样本进行加权平均的“黑盒子”。 这两类滤波器的根本区别，就在于它们计算这个“平均值”时所参考的“原材料”不同。

第一部分：FIR滤波器 (Finite Impulse Response Filter)

FIR滤波器，即有限冲-激响应滤波器，是数字滤波器中最直观、最稳健的一类。

1. FIR滤波器的核心原理：

纯粹的“前向”加权，FIR滤波器的输出 `y[n]` 只依赖于当前和有限个过去的输入样本 `x[n]`。

数学表达（差分方程）：

y[n] = b₀x[n] + b₁x[n-1] + b₂x[n-2] + ... + b_Nx[n-N]`

y[n] = ∑_{k=0 to N} b_k * x[n-k]`

`N`： 滤波器的阶数 (Order)，代表它“记忆”了多少个过去的输入样本。

`b_k`：滤波器系数 (Coefficients)，也叫抽头系数 (Tap weights)。这是滤波器的“灵魂”，决定了如何对每个输入样本进行加权。设计FIR滤波器的过程，本质上就是求解这一组最佳的 `b_k` 系数。

系统结构与冲激响应：

结构：这是一个纯粹的非递归 (non-recursive)或前馈 (feed-forward)结构。它就像一条“单行道”，信号一路向前，没有回路。

冲激响应 `h[n]`：如果你给FIR滤波器输入一个单位冲激 `δ[n]` (`x[0]=1`, 其他为0)，它的输出 `h[n]` 就是 `{b₀, b₁, b₂, ..., b_N}`。之后，输出将永远为零。因此，它的冲-激响应是有限长度的。这也是其名字的由来。

2. FIR滤波器的关键特性

绝对稳定 (Always Stable)：由于没有反馈回路（不依赖过去的输出），输出不可能被自身放大而失控。它的极点全部位于Z平面的原点。可实现完美的线性相位 (Linear Phase)：这是FIR滤波器最重要、最闪耀的优点。

什么是线性相位？

意味着信号通过滤波器时，所有频率成分的群延迟 (Group Delay) 是恒定的。

为什么重要？恒定的群延迟意味着波形不会产生相位失真。一个方波信号通过线性相位滤波器后，出来仍然是一个“方方正正”的方波，只是整体被平移了一段固定的时间。如果相位非线性，高频成分和低频成分的延迟不同，方波出来就会“变形”，产生振铃。如何实现？只要让滤波器系数 `b_k` 呈对称或反对称分布即可，例如 `b₀=b_N, b₁=b_{N-1}, ...`。

3. FIR滤波器的设计方法

设计FIR滤波器的目标就是找到一组系数 `b_k`，使得其频率响应 `H(e^(jω))` 尽可能地逼近我们想要的理想滤波器形状（如理想低通）。

窗函数法 (Windowing Method)：

1. 第一步：从一个理想滤波器的频率响应 `H_d(e^(jω))` 出发（比如理想低通的矩形函数）。

2. 第二步：通过傅里-叶逆变换，得到这个理想滤波器对应无限长冲激响应 `h_d[n]`,(它是一个sinc函数)。

3. 第三步：用一个有限长度的窗函数 `w[n]`(如汉明窗、汉宁窗、布莱克曼窗) 去“截取”这个无限长的 `h_d[n]`，得到一个有限长的实际冲激响应 `h[n]`。这个 `h[n]` 就是我们最终的滤波器系数 `b_k`。

原理：时域的乘法（截取）对应于频域的卷积。这会使理想的“砖墙”响应变得平滑，产生过渡带和旁瓣。不同的窗函数，是在主瓣宽度（影响过渡带陡峭程度）和旁瓣衰减（影响阻带抑制能力）之间做出的不同权衡。

频率采样法 (Frequency Sampling Method)：

直接在频域对我们想要的理想响应 `H_d(e^(jω))` 进行等间隔采样，得到 `N` 个频域采样点。 对这 `N` 个频域点进行离散傅里-叶逆变换（IDFT），就可以得到 `N` 个时域的滤波器系数 `h[n]`。这种方法可以设计出任意形状的频率响应，但其在采样点之间的响应可能会有较大的波纹。

最优化设计法 (Optimal Design, e.g., Parks-McClellan Algorithm)：

这是一种基于迭代算法的计算机辅助设计方法。它旨在找到一组系数，使得在通带和阻带内，实际响应与理想响应之间的最大误差最小化。其结果是等波纹 (Equiripple)的：误差在通带和阻带内均匀地波动。在阶数 `N` 相同的情况下，这是能设计出性能最优（过渡带最窄）的FIR滤波器的方法。

第二部分：IIR滤波器 (Infinite Impulse Response Filter)

IIR滤波器，即无限冲激响应滤波器，是数字滤波器中效率更高但设计更复杂的一类。

1. IIR滤波器的核心原理：

引入“反馈”的加权，IIR滤波器的输出 `y[n]` 不仅依赖于输入 `x[n]`，还依赖于一个或多个过去的输出样本 `y[n-k]`。

数学表达（差分方程）：

`a₀y[n] + a₁y[n-1] + ... = b₀x[n] + b₁x[n-1] + ...`

`y[n] = (1/a₀) * [∑_{k=0 to M} b_k*x[n-k] - ∑_{k=1 to N} a_k*y[n-k]]`

`a_k` 和 `b_k`：都是滤波器系数。

反馈/递归 (Feedback/Recursive)：`y[n]` 的计算用到了 `y[n-1]` 等过去的值，形成了一个反馈回路。

系统结构与冲激响应：结构：这是一个递归 (recursive)结构。信号流中存在从输出端回到输入端的回路。

冲激响应 `h[n]`：由于反馈的存在，一个单位冲激 `δ[n]` 输入后，其能量会在系统中不断地循环，导致输出 `h[n]` 理论上永不衰减至零，因此是无限长的。

2. IIR滤波器的关键特性

潜在的不稳定性 (Potentially Unstable)：

反馈是把双刃剑。如果设计不当，反馈可能变成正反馈，导致系统输出在有限输入下无限增长。稳定性是IIR设计中必须严格保证的首要条件（要求系统函数 `H(z)` 的所有极点都必须在Z平面的单位圆内部）。

高效率 (Highly Efficient：

这是IIR滤波器的核心优势。它可以用非常低的阶数（`N` 和 `M` 很小）就实现非常陡峭的滤波特性（窄过渡带），其计算量和延迟远小于要达到同样效果的FIR滤波器。

非线性相位 (Non-linear Phase)：

由于递归结构，IIR滤波器通常具有非线性相位，会导致相位失真，改变信号的波形。

3. IIR滤波器的设计方法

设计IIR滤波器的主流思想是“借鉴”成熟的模拟滤波器理论。

经典模拟原型法 (Analog Prototype Method)：

1. 第一步：确定规格。根据需求确定通带截止频率、阻带起始频率、通带波纹、阻带衰减等指标。

2. 第二步：选择模拟原型。根据对响应特性的要求，选择一种经典的模拟滤波器原型，如巴特沃斯（最平坦通带）、切比雪夫（最陡峭过渡带）或椭圆滤波器。

3. 第三步：设计模拟滤波器。根据规格和原型，计算出模拟系统函数 `H_a(s)`。

4. 第四步：进行“模拟”到“数字”的转换。使用一种映射技术，将s平面的 `H_a(s)` 转换为z平面的数字系统函数 `H(z)`。最常用的转换方法是：

冲激响应不变法 (Impulse Invariance)：

保证数字滤波器的冲激响应是模拟滤波器冲激响应的采样版本。

双线性变换法 (Bilinear Transformation)：

通过一个非线性的频率映射 `s = 2/T * (1-z⁻¹)/(1+z⁻¹)`，将整个s平面映射到z平面的单位圆内部。这是最常用、最稳健的方法，它能将一个稳定的模拟滤波器转换为一个稳定的数字滤波器，但会导致频率轴的“非线性压缩”，在设计时需要进行频率预畸变 (Frequency Pre-warping)。

       第三部分：FIR vs. IIR 在实际应用中的区别